けさ3時の天気図をみると、関東の南に低気圧があって北東方向に進んでいます。
この影響で、関東甲信地方では雨が降った所が多く、低気圧の北上に伴って、雨の範囲は東北の太平洋側に移っています。
また、日本海にも低気圧があって東へ進んでおり、東北北部の日本海側でも雨が降りだしました。

2017年6月1日3時実況天気図

この日本海の低気圧は、上空5000ｍ付近にマイナス18℃以下という強い寒気を伴っていますので、大気の状態が不安定です。
北日本では、所々で雷を観測しています。

2017年6月1日9時高解像度ナウキャスト（気象庁）

このあとは、関東の南の低気圧は東へ離れ、天気は回復に向かいますが、日本海の低気圧は動きが遅く、あすにかけて、北日本や日本海側に影響を与えそうです。
西日本では、あすの未明ごろまで、北陸はあすの夕方ごろまで、北日本は、あすいっぱい雨が続きそうです。
あすも北日本では、落雷、突風、ひょうの降る恐れがありますので注意が必要です。
また、西日本や東日本の太平洋側では、雨がやんだ後は、天気は回復に向かう所が多くなる見込みです。
また、梅雨入りしている奄美と沖縄は、前線の影響で曇りや雨や雷雨で、激しく降る所もあるでしょう。

2017年6月1日21時予想天気図